Lerninhalte |
Lern- und Qulaifikationsziele:
Die Studierenden sind in der Lage
- einfache natur- und ingenieurwissenschaftliche Problemstellungen mathematisch mit dynamischen Systemen zu modellieren, z.B. Laser, Musterbildung in Flüssigkeiten, Belousov-Zhabotinsky-Reaktion, Katalytische Reaktionen), Räuber-Beute-Modelle, Signalverarbeitung in Neuronen, oszillierende Schaltkreise, nichtlinear Feder-Dämpfer-Systeme
- die erwähnten Modelle mit Methoden Dynamischer Systeme zu untersuchen
- Stabilitätseigenschaften nichtlinearer Dynamischer Systeme zu untersuchen, z.B. durch Linearisierung und Anwenden des Satzes von Hartman und Grobman oder Verwendung geeigneter Lyapunov-Funktionen
- lokale Lösungseigenschaften durch das Studium invarianter Mannigfaltigkeiten analytisch und numerisch zu verstehen
- eine Dimensionsreduktion mit einer Zentrumsmannigfaltigkeitenreduktion (in Physik und Ingenieurwissenschaften als adiabatische Elimination oder Versklavungsprinzip bekannt) durchzuführen
- globale Lösungseigenschaften zu bestimmen, z.B. periodische Lösungen mit Poincare-Abbildungen zu untersuchen
- spezielle Typen partieller Differenzialgleichungen (hauptsächlich Reaktionsdiffusions-Systeme) bezüglich traveling-wave-Lösungen zu untersuchen
- Bifurkationspunkte zu definieren, untersuchen und klassifizieren
- numerische Fortsetzungsalgorithmen und numerische Bifurkationsanalyse durchzuführen
Lehrinhalte:
Zunächst werden in einer kurzen Übersicht Kenntnisse aus dem Bereich gewöhnlicher Differentialgleichungen (etwa aus AnalysisI-III) wiederholt, sowie einfache Grundlagen diskreter und kontinuierlicher Dynamischer Systeme vorgestellt. Der Hauptteil der
Vorlesung wird sich mit modernen analytischen und numerischen Methoden zur Untersuchung konkreter kontinuierlicher Systeme aus Natur- und Ingenieurwissenschaften beschäftigen. Insbesondere werden
qualitative Aussagen über das Langzeitverhalten nichtlinearer Probleme gemacht und die Abhängigkeit des Lösungsverhaltens von Parametern (Verzweigungs- oder Bifurkationstheorie) untersucht. Unter anderem geht es dabei um die Theorie invarianter Mannigfaltigkeiten, Verzweigung zu periodischen Lösungen und chaotisches Verhalten. Konkrete numerische Berechnungen werden die Theorie begleiten. Die Anwendungsbeispiele reichen von klassischer Mechanik bis zur Musterbildung in physikalischen, chemischen und biologischen
Systemen. Neben der Vertiefung der Theorie wird innerhalb der in der Vorlesung integrierten Übungen die auf Matrixoperationen basierte Programmiersprache MATLAB zur numerischen Lösung konkreter Problemstellungen verwendet. |