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Das Modul behandelt eine spezielle Klasse zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen. Viele dynamische Prozesse können mit Hilfe von parabolischen Differentialgleichungen modelliert und untersucht werden. Neuere Anwendungen liegen in der Finanzmathematik (Black-Scholes-Modell, Heston-Modell). Der Schwerpunkt der Veranstaltung liegt auf der theoretischen Behandlung parabolischer Gleichungen, die sich aus den finanzmathematischen Modellen herleiten lassen. In der Veranstaltung wird auf die Besonderheiten der Gleichungen in der Finanzmathematik (unbeschränktes Gebiet, unbeschränkte Anfangswerte) eingegangen. Es werden Grundlagen aus den Bereichen der stochastischen Prozesse und der Finanzmathematik, die benötigt werden um die untersuchten Modelle darzustellen und zu untersuchen, in kompakter Form bereitgestellt. Das Modul ist Grundlage für Masterarbeiten, die in enger Beziehung zu partiellen Differentialgleichungen und ihren Anwendungen in der Finanzmathematik stehen.
Lehrinhalte:
- Parabolische Differentialgleichungen
- Galerkin-Verfahren
- Halbgruppen-Theorie
- Lösungen auf unbeschränkten Gebieten und für nicht quadrat-integrierbare Anfangswerte
- Grundlagen der Finanzmathematik und stochastischer Prozesse
- Modelle zur Optionspreisbestimmung (Black-Scholes-Modell und Heston-Modell)
Zwingende Teilnahmevoraussetzungen:
Fundierte Grundkenntnisse in der Analysis und Grundkenntnisse in der Stochastik, Besuch einer Veranstaltung zu Differentialgleichungen
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