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Inhalt:
Analytische Methoden zur Lösung von parabolischen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, vor allem moderne Methoden mit den holomorphen starkstetigen Halbgruppen für lineare Gleichungen, kombiniert mit dem Banachschen Fixpunktsatz für semilineare Gleichungen. Wichtige Eigenschaften der Lösung, wie z.B. die Existenz, Eindeutigkeit, Regularität (Differenzierbarkeit) und das Maximumprinzip. Auch das asymptotische Langzeitverhalten der Lösung. Anwendungen auf Finanzmathematik, Risikotheorie (in der Bankwirtschaft), Populationsdynamik (Biomathematik) und Wärmeleitungstheorie (Physik).
Die folgenden Typen von parabolischen Gleichungen werden untersucht:
- Diffusionsgleichung und die Black-Scholes-Gleichung;
- Lineare Wärmeleitungsgleichung;
- Semilineare Reaktive Diffusionsgleichungen;
- Populationsmodelle mit Diffusion;
- Schrödinger-Gleichung der Quantenmechanik;
Voraussetzungen:
- Mathematiker – zwei Semester Analysis-Vorlesung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Funktionalanalysis;
- Physiker – vier Semester Mathematik-Vorlesung, Quantenmechanik
Empfehlungen:
Diese Spezialvorlesung ist besonders für die Studiengänge Master Mathematik, Techno- und Wirtschaftsmathematik und für die Studienrichtung „Theoretische Physik“ geeignet. Für alle ist sie als eine “höhere” Stufe gedacht.
Texte: H.-J. Engel und R. Nagel: One-Parameter Semigroups, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg-New York. L. C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, R.I. |
